Convergence de la suite de Héron

Une récurrence immédiate montre que $u_n > 0$ pour tout $n$, donc la suite est bien définie.

Minoration. Pour $n \ge 0$,

$u_{n+1} - \sqrt{a} = \frac{u_n^2 - 2 u_n \sqrt{a} + a}{2 u_n} = \frac{(u_n - \sqrt{a})^2}{2 u_n} \ge 0,$

donc $u_n \ge \sqrt{a}$ pour tout $n \ge 1$.

Décroissance. Pour $n \ge 1$,

$u_{n+1} - u_n = \frac{a - u_n^2}{2 u_n} \le 0$

puisque $u_n^2 \ge a$. La suite est décroissante à partir du rang $1$ et minorée par $\sqrt{a}$ : elle converge vers un réel $\ell \ge \sqrt{a} > 0$.

Limite. Par passage à la limite dans la relation de récurrence, $\ell = \frac{1}{2}(\ell + \frac{a}{\ell})$, soit $\ell^2 = a$, donc $\ell = \sqrt{a}$.