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Ma Prépa en Poche

MPSI · Sommes, produits et coefficients binomiaux · flash

Somme des termes d'une suite géométrique

Validé par Ma Prépa en Poche
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Soit q∈Rq \in \mathbb{R} avec q≠1q \ne 1. Montrer que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N},

∑k=0nqk=1−qn+11−q.\sum_{k=0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.

Indications

Cet espace accueillera les indications liées à l'exercice : méthodes à connaître, astuces de résolution et erreurs classiques à éviter — distinctes de la correction complète ci-dessous.

Corrections

Correction 1Validé par Ma Prépa en Poche

Posons Sn=∑k=0nqkS_n = \sum_{k=0}^{n} q^{k}. En développant, la somme télescope :

(1−q)Sn=∑k=0nqk−∑k=0nqk+1=1−qn+1.(1 - q) S_n = \sum_{k=0}^{n} q^{k} - \sum_{k=0}^{n} q^{k+1} = 1 - q^{n+1}.

Comme q≠1q \ne 1, on peut diviser par 1−q1 - q, d'où Sn=1−qn+11−qS_n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.

(Variante : récurrence directe sur nn.)

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Aussi classé dans : Suites numériques

Source : Domaine public

Droits : public_domain · Rendu v1-2026-05-22

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