Nature d'une série de Riemann

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On étudie la série $\sum_{n \ge 1} \dfrac{1}{n^{\alpha}}$.

1. À l'aide d'une comparaison série-intégrale fondée sur $\displaystyle \int_1^{N} \frac{\mathrm{d} t}{t^{\alpha}}$, montrer que la série converge si et seulement si $\alpha > 1$.
2. Pour $\alpha = 2$, en admettant que $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$, donner un encadrement du reste $\displaystyle \sum_{n > N} \frac{1}{n^2}$.