Endomorphisme nilpotent et polynôme caractéristique

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$ et $u$ un endomorphisme nilpotent de $E$.

1. Montrer qu'il existe un entier $p \in \mathbb{N}^*$ tel que $u^{p} = 0$ et $u^{p-1} \ne 0$.
2. En considérant une suite de noyaux emboîtés, montrer que $u^{n} = 0$.
3. En déduire le polynôme caractéristique de $u$.