A² = -I impose une dimension paire

En passant au déterminant dans $A^2 = -I_n$ :

$(\operatorname{det} A)^2 = \operatorname{det}(A^2) = \operatorname{det}(-I_n) = (-1)^n.$

Or $A$ est à coefficients réels, donc $(\operatorname{det} A)^2 \ge 0$, et comme $(-1)^n \ne 0$ on a nécessairement $(-1)^n = (\operatorname{det} A)^2 > 0$, c'est-à-dire $n$ pair.

(Autre lecture : les valeurs propres complexes de $A$ vérifient $\lambda^2 = -1$, donc valent $i$ ou $-i$ ; elles sont conjuguées deux à deux avec la même multiplicité, ce qui impose une dimension paire.)