Puissance n-ième d'une matrice triangulaire

Pour $n = 1$ la formule est immédiate. Supposons $A^{n} = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ pour un $n \in \mathbb{N}^*$. Alors

$A^{n+1} = A^{n} A = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},$

ce qui achève la récurrence.