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Ma Prépa en Poche

MPSI · Limites et continuité · ecrit

Étude d'une suite récurrente

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On considère la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par u0=1u_0 = 1 et, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1=2+un.u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}.

  1. Montrer que la suite est bien définie et que un∈[0,2]u_n \in \left[0, 2\right] pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
  2. Étudier la monotonie de la suite (un)(u_n).
  3. En déduire que (un)(u_n) converge et déterminer sa limite ℓ∈R\ell \in \mathbb{R}.

Indications

Cet espace accueillera les indications liées à l'exercice : méthodes à connaître, astuces de résolution et erreurs classiques à éviter — distinctes de la correction complète ci-dessous.

Corrections

Correction 1Validé par Ma Prépa en Poche

Par récurrence, un∈[0,2]u_n \in [0,2] : si un∈[0,2]u_n \in [0,2] alors 2+un∈[2,4]2 + u_n \in [2,4] donc un+1=2+un∈[2,2]⊂[0,2]u_{n+1} = \sqrt{2+u_n} \in [\sqrt 2, 2] \subset [0,2]. La suite est croissante (étude du signe de un+1−unu_{n+1}-u_n), majorée par 22, donc convergente. La limite ℓ\ell vérifie ℓ=2+ℓ\ell = \sqrt{2+\ell}, soit ℓ2−ℓ−2=0\ell^2 - \ell - 2 = 0, d'où ℓ=2\ell = 2.

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Source : Centrale-Supélec 2021 (adapté, domaine public) — Centrale-Supélec, Mathématiques 1, 2021

Droits : public_domain · Rendu v1-2026-05-22

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