Inégalité de Cauchy-Schwarz en espace préhilbertien

Soit $E$ un espace préhilbertien réel muni du produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ et de la norme associée $\lVert \cdot \rVert$.

1. Énoncer et démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz : pour tous $x, y \in E$, $\lvert \langle x, y \rangle \rvert \le \lVert x \rVert \, \lVert y \rVert.$
2. En déduire l'inégalité triangulaire $\lVert x + y \rVert \le \lVert x \rVert + \lVert y \rVert$.