Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité

L'inégalité s'écrit

$\lvert \langle x, y \rangle \rvert \le \lVert x \rVert \, \lVert y \rVert.$

Démonstration. Si $y = 0$ l'inégalité est immédiate. Sinon, pour tout $t \in \mathbb{R}$,

$0 \le \lVert x + t y \rVert^2 = \lVert x \rVert^2 + 2 t \langle x, y \rangle + t^2 \lVert y \rVert^2.$

Ce trinôme en $t$ est positif sur $\mathbb{R}$, donc son discriminant est négatif ou nul :

$4 \langle x, y \rangle^2 - 4 \lVert x \rVert^2 \lVert y \rVert^2 \le 0,$

ce qui donne l'inégalité.

Cas d'égalité. Il y a égalité si et seulement si la famille $(x, y)$ est liée. En effet, si le discriminant est nul, le trinôme admet une racine double $t_0$ et $\lVert x + t_0 y \rVert = 0$, donc $x = -t_0 y$ ; réciproquement, si $x$ et $y$ sont colinéaires, un calcul direct donne l'égalité.