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Ma Prépa en Poche

MPSI · Dérivation · oral

Limite du sinus cardinal en 0

Validé par Ma Prépa en Poche
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Soit ff la fonction définie sur R∗\mathbb{R}^* par f(x)=sin⁡xx.f(x) = \frac{\sin x}{x}.

  1. Montrer que pour tout x∈]0,π2[x \in \left]0, \tfrac{\pi}{2}\right[ on a l'encadrement cos⁡x≤sin⁡xx≤1.\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1.
  2. En déduire que ff admet une limite finie en 00 et préciser sa valeur ℓ∈R\ell \in \mathbb{R}.
  3. La fonction ff est-elle prolongeable par continuité en 00 ?

Indications

Cet espace accueillera les indications liées à l'exercice : méthodes à connaître, astuces de résolution et erreurs classiques à éviter — distinctes de la correction complète ci-dessous.

Corrections

Correction 1Validé par Ma Prépa en Poche

L'encadrement vient de la concavité de sin⁡\sin sur [0,π2]\left[0, \tfrac{\pi}{2}\right] et de l'aire du secteur circulaire. Par le théorème des gendarmes, cos⁡x→1\cos x \to 1 donne lim⁡x→0sin⁡xx=1.\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. On prolonge ff par f(0)=1f(0) = 1 : le prolongement est continu (et même dérivable) en 00.

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Aussi classé dans : Fonctions usuellesLimites et continuité

Source : Classique du domaine public — Programme MPSI — analyse

Droits : public_domain · Rendu v1-2026-05-22

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