Noyau et image d'un projecteur

Somme. Pour tout $x \in E$, on écrit

$x = (x - p(x)) + p(x).$

Le second terme appartient à $\operatorname{Im} p$, et le premier à $\ker p$ car

$p(x - p(x)) = p(x) - (p \circ p)(x) = p(x) - p(x) = 0.$

Donc $E = \ker p + \operatorname{Im} p$.

Intersection. Soit $y \in \ker p \cap \operatorname{Im} p$ : il existe $z \in E$ avec $y = p(z)$, et $p(y) = 0$. Alors

$0 = p(y) = (p \circ p)(z) = p(z) = y.$

Donc $\ker p \cap \operatorname{Im} p = \{0\}$, et la somme est directe : $p$ est le projecteur sur $\operatorname{Im} p$ parallèlement à $\ker p$.